Image
Opprydding etter eksplosjonen på havna i Beirut. Foto: Colourbox

Atombomber er mye større enn eksplosjonen på havna i Beirut, men ødeleggelsene var likevel enorme. Foto: Colourbox

Beirut: En av de største konvensjonelle eksplosjonene gjennom tidene

Andreas Carlson inviterte studenter til å regne ut sprengkraften i eksplosjonen på havna i Beirut 4. august og fikk svar i løpet av 40 minutter.

Den voldsomme eksplosjonen på havna i Beirut 4. august førte til at nærmere 200 mennesker mistet livet, 6500 mennesker ble skadd, og store deler av byen ble jevnet med jorden. Men hvor stor var eksplosjonen egentlig?

Christian Pedersen (t.v.), Ole Petter Maugsten og Andreas Carlson forteller at sprengkraften i eksplosjonen i Beirut kan beregnes med forholdsvis enkel matematikk. Foto: Bjarne Røsjø/UiO

Mange eksperter har forsøkt å beregne sprengkraften i eksplosjonen som skjedde i et lager med ammoniumnitrat på havna i Beirut i begynnelsen av august, og de fleste beregningene tyder på at eksplosjonen hadde en sprengkraft som tilsvarer mellom 200 og 2000 tonn TNT. Bachelorstudenten Ole Petter Maugsten og forsknings-stipendiaten Christian Pedersen ved Matematisk Institutt på Universitetet i Oslo har også regnet på eksplosjonen, og de kom fram til at sprengkraften tilsvarte ca. 550 tonn TNT. Det unike med UiO-matematikerne er at de også forteller hvordan de kom fram til dette svaret.

– Vi presiserer at det er mye måleusikkerhet i disse beregningene. Men vi har i alle fall kommet fram til en størrelsesorden som virker sannsynlig, understreker Pedersen.

Godt dokumentert eksplosjon

Det skjedde strengt tatt to eksplosjoner på havna i Beirut. Den første eksplosjonen skapte røyk og en mindre brann, noe som førte til at mange Beirut-innbyggere tok fram videokameraene og smarttelefonene sine. Dette førte til at den siste og enorme eksplosjonen, som altså ødela store deler av byen, ble uvanlig godt dokumentert på flere videoopptak.

– Disse opptakene kom til nytte da vi skulle regne ut sprengkraften i eksplosjonen, forklarer førsteamanuensis Andreas Carlson. Han underviser blant annet på et kurs i fluidmekanikk ved Matematisk institutt, og Beirut-eksplosjonen er et praktisk eksempel på hva faget kan brukes til. Fluidmekanikk eller væskemekanikk er nemlig en fysisk vitenskap som studerer bevegelsene i fluider, altså gasser og væsker.

Manhattan-prosjektet trengte ny matematikk

Da Maugsten og Pedersen skulle regne ut sprengkraften i eksplosjonen, kunne de bruke en forbløffende enkel matematisk formel. Men at beregningen er enkel i 2020, kan føres tilbake til at de legendariske matematikerne Geoffrey Ingram Taylor og John von Neumann klekket ut prinsippene for slike beregninger på 1940-tallet.

På den tiden var forskere i både Sovjetunionen og USA i ferd med å utvikle atombomber, og det var naturligvis viktig å vite hvor stor sprengkraft de nye våpnene kunne utvikle. Både G.I. Taylor ved Universitetet i Cambridge og John von Neumann ved Institute for Advanced Study i Princeton var involvert i Manhattan-prosjektet fra 1942, som utviklet de amerikanske atombombene. Taylor hadde teorien klar da verdens første detonasjon av et atomvåpen, den berømte Trinityprøvesprengningen, ble gjennomført ved Alamogordo i New Mexico 16. juli 1945.

Atombomber måles i TNT-tonn

Manhattan-forskerne hadde noen uker tidligere detonert 108 tonn TNT (trinitrotoluen) for å kalibrere måleutstyret de ville benytte ved prøvesprengningen. Siden da har man målt sprengkraften av kjernevåpen i tonn, kilotonn eller megatonn TNT.

Atombomben som ble detonert i Trinity-prøvesprengningen 16. Juli 1945 var på 19 kilotonn TNT. De første stadiene i eksplosjonen likner mye på de første stadiene av eksplosjonen i Beirut. Foto: Federal government of the United States/Wikimedia Commons

Atombombe-konstruktørene hadde regnet ut at Trinity skulle ha en sprengkraft tilsvarende 19 kilotonn TNT, men Taylor mente at han kunne beregne sprengkraften utelukkende ved å observere eksplosjonen. Som sagt, så gjort, og med sine observasjonsbaserte beregninger kom han fram til en sprengkraft som tilsvarte 20 kilotonn TNT. Ganske bra truffet, med andre ord.

– Både Taylor og von Neumann skrev vitenskapelige artikler om dette tidlig på 1940-tallet, og de ble straks hemmeligstemplet. Men artiklene og bilder fra Trinity-prøvesprengningen ble deklassifisert på 1980-tallet, forteller Carlson.

Enkelt – når man kan det

De tre matematikerne forteller at det er forholdsvis enkelt å beregne eksplosjoner hvis man kan observere dem, men det forutsetter naturligvis at man kan teorien. I dette tilfellet begynner teoriutviklingen med å ta utgangspunkt i Buckinghams π-teorem, som er sentralt i den delen av faget som kalles dimensjonsanalyse. Dette teoremet sier at et problem kan beskrives av et antall dimensjonsløse parametere.

– Taylor gjorde fire grunnleggende antakelser: At energien blir frigjort i ett punkt, at lufttettheten utenfor eksplosjonen er konstant, at energien ikke påvirkes av kjemiske reaksjoner og at lufttrykket ikke er relevant. Han beregnet også at eksplosjonen kan beskrives med fire parametere – energi, tid, lufttetthet og eksplosjonsfrontens posisjon – som igjen kan uttrykkes i form av tre uavhengige fysiske enheter. Dermed kom han fram til at problemet kan beskrives med én dimensjonsløs parameter, forklarer Pedersen.

Denne likningen beskriver eksplosjoner som den i Beirut. Her er R(t) radien til eksplosjonsfronten, t er tid, E er energien, og den greske bokstaven ρ (rho) er lufttettheten. C er en konstant som er tilnærmet lik 1.

Sagt på en mer ikke-matematisk måte: Hvis du klarer å måle hvor fort sjokkbølgefronten rundt eksplosjonen beveger seg, har du all den informasjonen du trenger for å beregne sprengkraften på selve eksplosjonen. John von Neumann utviklet en annen og mer detaljert beregningsmetode, men resultatene av de to metodene blir omtrent like i de fleste tilfeller.

Forbløffende like eksplosjoner

Når de tre UiO-matematikerne legger bildene av Trinity-prøvesprengningen og eksplosjonen på havna i Beirut ved siden av hverandre, ser eksplosjonene forbløffende like ut i de første millisekundene. Men etter en stund begynner eksplosjonene å se forskjellige ut: Trinity-eksplosjonen er nokså kulerund hele tiden, mens sjokkbølgen fra havna i Beirut blir mer rotete og avlang, med et «smultringhull» i midten.

Ulikhetene skyldes i stor grad terrengforskjeller og mengden energi som ble frigjort: Trinity-bomben ble detonert ca. 20 meter over bakken på et flatt område i en ørken, mens eksplosjonen i Beirut inneholdt mye mindre energi og skjedde inne i et lager – og på utsiden av en kornsilo som må ha skjermet deler av byen for enda større ødeleggelser.

På bildene fra Trinity-prøvesprengningen er det mulig å se noen strukturer som antakelig er bygninger, og Taylor har antakelig visst hvor store disse var. Dette kunne han bruke som målestokk, og slik kunne han beregne avstanden fra eksplosjonspunktet til bølgefronten til enhver tid.

Brukte kornsiloen som målestokk

Denne bildeserien viser at eksplosjonsfronten i Beirut har beveget seg ca. 124 meter etter 0,08 sekunder, 143 meter etter 0,17 sekunder og 172 meter etter 0,33 sekunder. Matematikerne kunne bruke dette til å beregne sprengkraften ved t=0.

UiO-matematikerne lagde seg en tilsvarende målestokk da de skulle beregne eksplosjonen i Beirut. De fant fort ut at kornsiloen på havna målte ca. 36 meter før den ble ødelagt.

– Dette kunne vi bruke til å beregne eksplosjonsfrontens radius ved ulike tidspunkter. Vi har også brukt tre ulike videoer som viser eksplosjonen fra ulike posisjoner. Videoene har ikke veldig høy oppløsning, slik at en pixel i videoene kan tilsvare både en halvmeter og halvannen meter i virkeligheten. Dette er årsaken til noe av måleusikkerheten i beregningene våre, forklarer Christian Pedersen.

Matematikerne visste også at Taylors metode fungerer best før radiusen blir altfor stor, særlig når terrenget er ujevnt. De har derfor begrenset seg til å studere eksplosjonsfrontens bevegelser opp til en radius på ca. 300 meter, og så har de målt radien for tidspunkter som er knyttet til en radius under denne grensen.

Analysen av de tre videoene gir litt forskjellige resultater, viser det seg. To av videoene gir ganske likt resultat og sier at sprengkraften var henholdsvis 1249 og 1652 gigajoule (GJ), mens den tredje videoen tyder på at eksplosjonen var på 4145 GJ. En GJ er det samme som en milliard (109) Joule.

Gjennomsnittsverdien av disse tre målingene er 2348 GJ, og eksplosjonsenergien i et tonn TNT tilsvarer omtrent 4 gigajoule (GJ).

– Dermed kommer vi fram til at eksplosjonen tilsvarte ca. 550 tonn TNT, avslører Andreas Carlson.

Hvor mye TNT var lagret?

De tre matematikerne understreker at dette ikke bør oppfattes som en nøyaktig beregning. I tillegg til måleusikkerhetene som allerede er nevnt, er det også usikkert hvor mye TNT som faktisk eksploderte i den andre eksplosjonen.

Ifølge Wikipedia har de libanesiske myndighetenes etterforskning avslørt at det var lagret ca. 2750 tonn ammoniumnitrat på havna i Beirut, tilsvarende sprengkraften i 1100 tonn TNT. Det stemmer i så fall svært bra med UiO-matematikernes beregning.

– Her kan det jo tenkes at noe av ammoniumnitratet gikk i lufta i den første eksplosjonen. Det er heller ikke slik at eksplosjonen i et slikt lager skjer på en perfekt måte der all tilgjengelig energi overføres til eksplosjonen, kommenterer Carlson.

En av verdens største konvensjonelle bomber

Hva kan man sammenlikne denne eksplosjonen med? Det internasjonale nyhetsbyrået Reuters har konsultert eksperter som kom fram til at eksplosjonen i Beirut tilsvarte mellom 200 og 300 tonn TNT, altså i nærheten av UiO-matematikernes beregning.

Trinity-prøvesprengningen i 1945 var på ca. 20 kilotonn TNT, og atombomben som ble sluppet over Hiroshima-bomben 6. august 1945, «Little Boy», detonerte med en sprengkraft som tilsvarte mellom 13 og 16 kilotonn med TNT, ifølge Wikipedia. Disse eksplosjonene var altså ca. 30-40 ganger større enn eksplosjonen i Beirut, målt i sprengkraft. Her er det viktig å huske på at det ikke bare er sprengkraften som tar liv i atomeksplosjoner, men også radioaktiviteten og de ekstreme temperaturene som oppstår.

Eksplosjonen i Beirut var altså vesentlig mindre enn det vi forbinder med en atombombe.

– Men Reuters eksperter sier samtidig at denne eksplosjonen var helt i det øvre sjiktet av hva man kan oppnå med en konvensjonell bombe, oppsummerer Andreas Carlson.

Han tilføyer at han gjorde «veldig lite» selv i disse beregningene.

– Det eneste jeg gjorde, var at jeg viste bachelorstudentene Taylors analyse og spurte om det var noen som ville regne ut energien i Beirut.

– Det syntes jeg virket interessant, så jeg satte meg ned og regnet på det, forteller Ole Petter Maugsten beskjedent – før Titans medarbeider haler ut av ham at hele beregningen ble utført på bare 40 minutter. Deretter satte Christian Pedersen seg ned for å gjenta beregningen, og han fikk omtrent samme svar som Maugsten.

– Jeg synes det er interessant at man kan bruke et forholdsvis enkelt regneverktøy til å beregne størrelsen på fenomener vi kan observere, til og med på nyhetene. Og så håper jeg at undervisningen i mekanikk blir mer interessant når det går an å bruke slike eksempler, oppsummerer Andreas Carlson.

Kontakt:

Andreas Carlson, førsteamanuensis på Matematisk institutt

Mer informasjon:

Bok om dimensjonsanalyse:

Barenblatt, G. I., Barenblatt, G. I., & Isaakovich, B. G. (1996). Scaling, self-similarity, and intermediate asymptotics: dimensional analysis and intermediate asymptotics (Vol. 14). Cambridge University Press.


Teoretiske artikler om eksplosjonsfronten:

Taylor, G. I. (1950). The formation of a blast wave by a very intense explosion I. Theoretical discussion. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 201(1065), 159-174.

Taylor, G. I. (1950). The formation of a blast wave by a very intense explosion.-II. The atomic explosion of 1945. Proceedings of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences, 201(1065), 175-186

von Neumann, J. 1963. “The point source solution”. In Collected Works, Edited by: Taub, AH. Vol. 6, 219–237. New York: Pergamon.

Sedov, LI. 1946. Propagation of strong blast waves. Prikladnaya Matematika i Mekhanika (Appl. Math. Mech., Leningrad), 10: 241–250

Beirut-videoene som ble brukt i beregningene:

Les mer på Titan.uio.no:

Ny type materialer har overflate med justerbare egenskaper

3D-printing forklarer hvordan «helikopterfrø» flyr

Kan 3D-printede «helikopterfrø» fly lenger enn de naturlige?

Utdanning:

I studieprogrammet MEK3230 - Fluidmekanikk får du en innføring i fluidmekanikk, det vil si den matematiske beskrivelsen av bevegelse og fysikken til væsker og gasser (fluider).