Naturfilosofi på en våt strand

Eller sammenhengen mellom pisket krem og egenskapene til jordskorpa

I det siste halvannet året har vi strevd med å forstå en modell for lyd i havbunnen. Havbunnen kan sees på som sand som er mettet med vann, mye som en våt sandstrand.  Det gjør at sanden er glimrende til å lage sandslott med fordi sandkornene fester seg til hverandre uten at det hele stivner som betong. Men det gjør den også vanskelig å forstå når det gjelder lyd, fordi det blir så mye mer komplisert enn enkle saker som vann eller luft.

Vår modell besto av små sandkorn som gnisser mot hverandre. Det skal være en nøkkel til å forstå hvordan lyden oppfører seg i følge Michael Buckingham fra Scripps Institution of Oceanography  som formulerte denne modellen tidlig på 2000-tallet.

Ferdig med Newton

En slik modell bryter med Newtons modell for materialer. De grunnleggende modellene for materialer skyldes Hooke og Newton. De kalte seg naturfilosofer og det er jammen meg noe jeg skulle ønske jeg kunne titulere meg med også, ikke bare med det trivielle ordet forsker.

Men 300 år etter Newton er det vel ikke så rart at det er de materialene som ikke følger Newtons modell som er mest interessante for oss som bedriver naturfilosofi  - unnskyld  - forskning. Det viser seg at det er forbausende mange av dem. Og sand i vann er ett av dem. Når man gnisser et sandkorn mot et annet er kraften som trengs slik at den øker med hvor lenge gnissingen foregår, eller sagt på en annen måte: Viskositeten eller seigheten øker med tiden og er ikke konstant som i en støtdemper.

Over til ikke-Newtonske materialer

Det tok oss ganske lang tid å forstå at den modellen vi studerte for sandkorn nettopp var en slik ikke-Newtonsk modell. I dens opprinnelige formulering ble den ikke presentert slik, men da vi oppdaget det falt mye på plass. Den viste seg å være det som kalles en tidsvarierende ikke-Newtonsk modell.

Et mer vanlig eksempel på noe som ikke følger Newton er en tiksotrop maling. Der faller viskositeten etter at en begynner å røre. Logikken er enkel fordi en vil at når malingen nettopp er rørt om skal den være lett å smøre på, men så skal den bli seigere ganske raskt etterpå for ikke å dryppe.

Den motsatte egenskapen, den som reopektiske materialer har, er ikke fullt så vanlig. Men ett eksempel er krem. Den starter som en tyntflytende fløte og ender med tiden opp som en tyktflytende krem. Viskositeten har økt med tiden. Det samme tror vi skjer mellom sandkorn, men der skjer alt i løpet av mikro- og millisekunder, ikke minutter som med krem.

Ferdig med eksponentialfunksjoner

En litt annen egenskap ved de gjengse modellene er at nesten alt som skjer med dem kan beskrives med eksponentialfunksjoner og hvordan disse varierer med tiden: e^-at. Det er altså potenser av den merkelige konstanten, e, som er 2,7-Ibsen-Ibsen eller om man putter inn Ibsens fødselsår 2,718281828 og der a er en parameter som karakteriser materialet.

De har også vært studert i hundrevis av år. Så derfor er det vel heller ikke så rart om det er mer interessant i dag å studere fenomener som ikke følger dette. Det gjelder for eksempel potensfunksjoner, t^-b, der b er noe som karakteriserer materialet. Og vips så er man over i en helt annen verden. En som kan bestå av fraktaler og der differensial-ligningene ikke lenger bare har første og andre deriverte, men også ikke-heltallige deriverte, som den deriverte av orden 1,2 eller π/4.

Ferdig med derivasjon

Derivasjon er nemlig også en greie fra 1600-tallet. Både Newton og Leibniz kom på den ideen. Vi har notasjonen df(t)/dt fra Leibniz (1646-1716) og f(t) med prikk over fra Newton, så ingen av dem er glemt. Men 250 år etter begynner det å bli vanskelig å finne ut så mye nytt om tradisjonelle deriverte.

Så da er det vel heller ikke så rart at det er artigst å undersøke materialer der ikke-heltallige deriverte spiller hovedrollen. Det har jeg skrevet om før.

Dette feltet kalles fraksjonell viskoelastistet og det beskriver også materialer som ikke er Newtonske, da materialene får ”hukommelse” og husker hva som er skjedd en stund bakover. Men de som jobber i dette feltet og de som undersøker de tidsvarierende ikke-Newtonsk modellene, slik som med malingen og kremen over, snakker nesten ikke med hverandre. Det er jo litt rart.

Vår artikkel

I vår artikkel starter vi med et reopektisk materiale, ett der viskositeten øker lineært med tiden, og kombinerer det med en fjær. Så ser vi på hva som skjer om man plutselig setter på en kraft og holder den. Da fant vi at sammentrykningen, eller relaksasjonsresponsen, var akkurat den samme som hvis man har en litt sær støtdemper som ikke reagerer på hastigheten - den deriverte av sammentrekningen - men dens ikke-heltallige deriverte.

Eureka! Dette var vi ganske fornøyd med å finne, for det kobler fraksjonell viskoelastistet sammen med tidsvarierende ikke-Newtonske systemer på en ganske elegant måte. Vi har funnet en liten bro mellom disse fagområdene som ikke var der før.

Enda et funn

Alle slike mekaniske systemer kan også måles på den motsatte måten: Trykk det plutselig sammen og mål den kraften som trengs for å holde det slik. Det kalles kryp-responsen. Vi så så vidt på den også, men ikke så veldig nøye. Vi var vel egentlig ganske fornøyd med det første resultatet. Men det var ikke våre granskere (reviewere). De ba oss gjøre dét også skikkelig.

Da oppdaget vi at kryp-responsen var logaritmisk og fulgte ”c+log(1+et)”, der c og e karakteriserer materialet og t er tiden. Men dette er jo en empirisk lov fra 1956 som er oppkalt etter den chilenske forskeren Lomnitz. Dette var jo et like kult resultat! Denne loven er blitt brukt til mange ting, og også til å karakterisere jordskorpen og dens respons på jordskjelv.

Den kan óg brukes til å beskrive det som kalles ”Chandler wobble”. Det er et fenomen der jordas polakse svaier litt som en snurrebass som går litt skeivt. Det fører til at nordpolpunktet beveger seg med ca 15 meter i løpet av 433 dager. Vår kobling mellom et tidsvarierende ikke-Newtonske materiale og Lomnitz’ lov er så vidt vi vet den første utledningen av denne loven.

To oppdagelser

Så nå hadde vi to overraskende resultater. Ett der materialer som vispet krem kobles sammen med ikke-heltallige deriverte, og et annet der kryp i jordskorpa kobles sammen med nettopp reopektiske materialer som vispet krem.  Det er vel kanskje ikke så rart da at artikkelen vår i Physical Review E har fått en så lang og kronglete tittel:

• V. Pandey, S. Holm, Linking the fractional derivative and the Lomnitz creep law to non-Newtonian time-varying viscosity.