De siste 8-9 årene har jeg jobbet med bedre modeller for å forstå hvordan ultralyd brer seg i kroppsvev. I alle fag er bedre forståelse av et fenomen nøkkelen til å komme videre. Her er målet mer presise diagnoser ved medisinsk avbildning, som for eksempel det å se effekten av cellegift på en kreftsvulst for bedre å bestemme dosering.
En fruktbar angrepsvinkel har vært å se med nye øyne på derivasjon, det som kalles fraksjonelle deriverte. De fleste som leser denne bloggen husker vel at den 1. deriverte beskriver stigningen til en kurve, som den røde linjen i figuren, og den 2. deriverte krumningen.
Siden integrasjon opphever derivasjon, så kan man si at integrasjon er derivasjon av orden -1 og at funksjonen selv, f(t), er den 0. deriverte. Når den deriverte betegnes med f(1)(t) kan vi stille opp en rekke …, f(-1), f(0), f(1), f(2), …. Her er altså med integrasjon, funksjonen selv, og første og andre deriverte. Dette minner jo om rekken av naturlige tall: …,-1,0,1,2,3,4,… og der har vi for tusenvis av år siden fylt inn mellom dem med tall som ½ og π. Hvorfor ikke gjøre det for de deriverte også?
Allerede Leibniz, som sammen med Newton var en av dem som introduserte derivasjon, var inne på tanken om den halvte deriverte, altså f(0.5)(t). Men Niels Henrik Abel var den første som formulerte et fysisk problem der nettopp den deriverte av orden ½ trengs, det som kalles Abels mekaniske problem.
Ligningen for den fraksjonelle deriverte er ganske komplisert, men en slik derivert av orden ½ kan forstås som først å ta en 1. derivert. Men siden det blir å derivere "litt for mye", må man oppheve halvparten av den ved en slags integrasjon. Dermed blir fraksjonell derivasjon en blanding av derivasjon og integrasjon. Det er mye enklere matematisk enn man skulle tro hvis man har tatt et av våre signalbehandlingskurs og husker Fouriertransformen som bare blir (iω)0.5F(ω).
I vårt arbeid gjelder det ultralyd som går gjennom kroppsvev og får en demping som øker med frekvensen som fy der y er en eksponent som gjerne er mellom 1 og 2. Elastografi, lavfrekvente skjærbølger i kroppen, er annerledes og får often en eksponent mellom 0 og 1. Dette kan ikke modelleres med ordinære differensialligninger, som f.eks den vanlige bølgeligningen med tap:
Vi har vist at alternative bølgeligninger kan finnes fra fysiske prinsipper. Den enkleste av dem er nesten lik den over, men har med en fraksjonell tidsderivert i stedet:
Vi arbeider nå med andre fraksjonelle bølgeligninger, med å forstå hvilke egenskaper i cellene som gir opphav til den fraksjonelle egenskapen, og vi arbeider med numerisk simulering av disse ligningene.
Referanse: S. Holm and R. Sinkus, ”A unifying fractional wave equation for compressional and shear waves,” Journ. Acoust. Soc. Am., vol 127, no 1, pp 542-548, 2010.
