Artikkel

Studenter fant ”Escher-kunst” i naturen

Henrik Limseth, Kristian Olsen og Carsten Lütken
Fra venstre: Henrik Limseth, Kristian Olsen og Carsten Lütken. Foto: Hilde Lynnebakken/UiO Bruk bildet.

Studenter fant ”Escher-kunst” i naturen

Med fancy matematikk, kvantefysikk og dataanalyse fant to studenter en type symmetrier som ikke tidligere er påvist i naturen. Symmetriene er velkjent fra matematikken og en inspirasjonskilde for kunstneren M.C. Escher.

Symmetriene som de to UiO-studentene Henrik Limseth og Kristian Olsen har funnet, kalles modulære symmetrier, men for å forstå hva det er, må vi langt tilbake i tid.

Kissing Circles
Kissing Circles, av Jiuguang Wang. Wikimedia Commons. CC-BY-SA 3.0

For 2300 år siden jobbet grekeren Apollonius med et matematisk problem: Hvis du starter med tre sirkler som berører (”kysser”) hverandre, hvordan kan du konstruere en sirkel som berører alle de tre andre? Oppgaven er kjent som kissing circles-problemet.

Fortsetter du å tegne sirkler som ”kysser” hverandre, får du et gjentagende mønster som ser likt ut i stadig mindre skala. Dette er Apollonius' pakning (engelsk: Apollonian gasket), verdens første fraktal, og også prototypen på noe med modulær symmetri.

I matematikk er ting symmetriske hvis du kan gjøre noe med dem og de ser like ut etterpå. Tenk på et kvadrat: Du kan rotere det en kvart omdreining og det ser likt ut (rotasjonssymmetri). Eller du kan speile det om midten, og det ser likt ut (speilingssymmetri).

Escher-symmetrier

Apollinsk fraktal

Apollinsk fraktal. Illustrasjon: Carsten Lütken

Modulære symmetrier er mer avanserte, men de er nesten like enkle å visualisere.

– Kunstneren M.C. Escher forsøkte å formidle dette i noen av sine verk, forteller Carsten Lütken, professor i teoretisk fysikk.

Den nederlandske kunsteren var fascinert av matematiske problemer. Han er kjent blant annet for sine tilsynelatende endeløse trapper.

I Eschers berømte Engler og demoner-motiv viser han modulære symmetrier. (Vi må be leserne om å slå opp selv, siden det er så dyrt å gjenbruke Escher.)

Hittil har modulære symmetrier vært å finne i matematikken – og kunsten, men Lütken og hans to masterstudenter har nå klart å finne dem i naturen.

– Vi er ikke blitt inspirert til å studere disse symmetriene på kunstmuseum; dette stammer fra studier av strengteori, sier Lütken.

Strengteori og Noethers teorem

Strengteori er en hypotetisk modell hvor de minste byggesteinene i naturen beskrives som ørsmå strenger. Partiklene vi kjenner som elementærpartikler, som elektroner og kvarker, er svingninger i strengene. Modellen er ikke testet, men matematikken bak er den samme som den som beskriver modulære symmetrier.

– Matematikk og fysikk er i stor grad en historie om symmetrier, fremholder han.

Emmy Noether

Emmy Noether (1882-1935) har skrevet fysikkens viktigste teorem. Foto: Ukjent

Fysikkens viktigste teorem er skrevet av en matematiker, nemlig Emmy Noether. Hennes viktige resultat er at for hver symmetri finnes det en bevart størrelse.

– Vi kan ikke gjøre fysikk uten symmetrier, sier Lütken. – Alt annet er staffasje.

Gjennombruddsmatematikk

Modulær matematikk er ofte involvert i gjennombrudd i moderne matematikk. Det gjaldt også for Andrew Wiles’ bevis for Fermats siste teorem, som han fikk Abelprisen for i 2016.

– Han ender faktisk opp med nøyaktig samme objekt som vi bruker, sier Lütken. – Det er egenskapene til denne funksjonen som utnyttes i hans bevis og som vi bruker til å lage en kvantemodell av en spesiell type materialer.

Matematikere har studert modulære symmetrier i over hundre år, men det er altså først nå at de er påvist i naturen. Og det i en ganske spesiell del av naturen, nemlig i flate materialer, vanligvis kjølt ned nesten til det absolutte nullpunkt og plassert i sterke magnetfelter.

I slike materialer oppstår kvantehalleffekten, et merkelig fenomen hvor ledningsevnen i materialet bare kan anta spesielle verdier – den er kvantisert.

Kvantehalleffekten er fremdeles ikke skikkelig forstått, selv om den siden den ble oppdaget i 1980 har høstet flere nobelpriser og brukes til å definere ohm, den internasjonale enheten for motstand.

– Reinspikka kvantemagi

– Veldig kalde systemer oppfører seg ikke ”vanlig,” forklarer Lütken. – Og ta grafén, der finner vi en kvantehalleffekt ved romtemperatur, det er reinspikka kvantemagi, mener han.

– Men i disse materialene fant dere altså modulære symmetrier. Hvordan kom dere fram til det?

– Vi gikk gjennom data fra en mengde eksperimenter som er gjort på ”flate” materialer som halvlederoverganger, tynne filmer og grafén, forteller Kristian Olsen.

Materialene hadde lite til felles, annet enn at kvantehalleffekten fantes i alle eksperimentene.

– Det var mange eksperimentelle oppsett å sette seg inn i, i tillegg til all teorien, sier Henrik Limseth.

«Tour-de-force paper»

Dataene ble analysert ut fra en 25 år gammel teori om at slike symmetrier kunne gjemme seg i kvantehall-data, en teori som ble framsatt av veileder Lütken selv i samarbeid med Graham Ross ved Oxford-universitetet.

I analysene sine fant altså studentene modulære symmetrier, som fram til nå har tilhørt matematikkens verden.

Resultatene er publisert i tidsskriftet Physical Review B, hvor artikkelen ble omtalt som «a tour-de-force paper» og uthevet som ”editor’s suggestion.”

– Det er uvanlig at masterstudenter, ihvertfall i teoretisk fysikk, får arbeidet sitt publisert, sier en synlig stolt veileder Lütken.

Interessert i symmetrier?

Se foredraget Supre symmetrier og mørke mysterier med fysiker Anders Kvellestad ved UiO, filmet av NRK Skole.

Vitenskapelig artikkel: 

Universality of modular symmetries in two-dimensional magnetotransport

Mer på Titan.uio.no:

Kategori: 

Skriv ny kommentar

Verifiser deg (din epost-adresse vil ikke bli vist offentlig)

Les også

Hunnene av den sørlige vågehvalen kan veie opptil 14 tonn, men nå er de blitt magrere.

Endelig enighet om at den sørlige vågehvalen er blitt avmagret

De sørlige vågehvalene, som lever i havområdene rundt Antarktis, har vært gjennom en kraftig avmagring etter 1988. Men det skulle ta 11 år med diskusjoner, og til sist en heftig innsats fra norske statistikere, før Den internasjonale hvalfangstkommisjonen kom fram til den konklusjonen.

Brecht Verstraete og Hugo de Boer

Identifiserer planterester ved hjelp av "strekkoder" i DNA

Hugo de Boer og Brecht Verstraete ved Naturhistorisk museum skal bruke DNA-teknologi og molekylære metoder til å utvikle nye, raskere og enklere metoder for sikker identifisering av planter og planterester. Både tollvesenet og tilsynsmyndigheter i mange land er interessert i denne forskningen, som kan brukes til å avsløre svindel.

Andreas Carlson med de magiske dråpene som gjør at overflater kan endre egenskaper

Ny type materialer har overflate med justerbare egenskaper

Nå kommer en ny type materialer hvor overflatens egenskaper kan varieres ved å justere et magnetfelt. Da kan materialet gjøre så forskjellige ting som å fjerne biofilmer, pumpe små væskestrømmer, flytte små partikler – eller fungere som et lim som slås av og på.

Reidunn Aalen med planteforskernes

– Blader, frukt og frø detter ikke ned av seg selv!

– Tenk om bøndene kunne redigere genene i plantene de dyrker, slik at frukter og frø felles mer koordinert enn i dag. Da kunne vi få mye større avlinger enn i dag uten å øke arealene eller gjødslingen, sier professor Reidunn Aalen. Den drømmen har kommet nærmere etter at Aalen og kollegene har funnet en gruppe gener som er minst 175 millioner år gamle.