Image
""

Illustrasjonsfoto: Colourbox

Trafikkflyt, matematikk og viktigheten av trafikklys for fransktimen

Klokka åtte på hverdager er veien til skolen en scene for en veldig interessant mulighet for et matematisk problem.

Artikkelen er skrevet av Liana-Andreea Maciovan

Med flere busser som står i kø og bare ett felt for alle sammen, blir det fort mange biler etter hverandre. Det fører til at hovedveien mellom Bekkestua og Lysaker blir en trafikkø, eller «bouchon» på fransk.

På veien til en fransktime som tenåring stilte jeg meg følgende spørsmål: Kan jeg beskrive dette med matematikk, slik at jeg vet om blir jeg forsinka og dermed om fransklæreren min blir sur på meg?

Antagelser som enten bekreftes eller avkreftes

Liana-Andreea Maciovan er masterstudent i matematikk ved Universitetet i Oslo. Denne artikkelen er skrevet som en del av formidlingskurset MNKOM. Foto: Mari Martinussen

Hvis jeg, som sitter på bussen, bare ser på feltet foran og bak meg, og vi ser på en rett veistrekning, kan vi se på antall biler på denne strekningen. Vi kan anta den neste bilen er to meter foran oss. Den påvirker tettheten av biler på strekningen, og man kan se det matematisk, og ikke bare med for eksempel et kamera på en stolpe.

Man kan også anta at, på den samme strekningen, kan ikke biler gå inn eller ut. Vi kan også anta at bilene følger fartsgrensen på 50 km/t. Da har vi variabelen av hvor ofte biler går forbi et bestemt punkt på en bestemt tid, som er avhengig av farten og tettheten.

Alle disse parameterne fører til et (mer) uniformt system, det vil si et mer regulært system, som man kan løse ved hjelp av en partiell differensiallikning. Regulariteten til systemet påvirker hvor enkelt det er å jobbe med og dermed hvor enkelt man kan løse partielle differensiallikningen. En partiell differensiallikning er en likning mellom en funksjon og dens partielle deriverte. 

Dermed, kan det å sette disse parameterne, eller å sette funksjoner for å se hvordan de endrer seg, påvirke mye hvordan den partielle differensiallikningen ser ut.

Trafikklys er verdt mye for matematikken

Basert på alle parameterne vi allerede har, kan vi etablere ett parameter til, som er viktig for modellen, og som forandrer mye: trafikklys.

La oss ta en vilkårlig strekning av Gamle Ringeriksvei, hvor det eksisterer et trafikklys. Trafikklyset stopper biler på et bestemt tidspunkt og lar dem så fortsette igjen. Avhengig av hvordan og hvor ofte de stoppes, endrer modellen seg en god del.

Med en gang bilene får grønt lys, går man fra å ha mange biler tett på hverandre til å ha få biler gradvis. Det vil si at tettheten av bilene vil endre seg, og den er forskjellig fra tettheten som var før bilene ble satt i trafikklyskøen.

For å si det på en mer matematisk måte, det vil si at foran og bak trafikklyset vil det matematiske beskrivelsen av bevegelsen til bilene se forskjellig ut, og det er viktig å se på.

Å komme ut (av en trafikkø)

Dersom man er på vei til skolen i rushtiden, er det ganske sannsynlig at det blir trafikkøer. Men når man kommer ut av en trafikkø, opplever man en nedgang i tettheten av bilene rundt. Det vil si at det er færre biler på strekningen vi definerte tidligere, og det blir en gradvis økning av avstanden mellom bilene. Det blir ikke en plutselig økning, i samme grad som endringen etter å se grønt lys etter trafikklys.

Det er ikke alle spørsmål som hverken jeg som tenåring eller jeg som nå skriver master i matematikk, kan svare nøyaktig på med tanke på trafikkflyten.

Til tross for det er det én ting jeg er sikker på: Hvis trafikken flyter eller stopper på en ikke-uniform måte, og avhengig av hvor vanskelig differensiallikningen er å løse, blir fransklæreren min sur på meg fordi jeg er forsinka. Igjen. Hvis jeg kan beskrive det matematisk, med de parameterne som er gitt, og de er uniforme, får hun ha en annen grunn til å være sur på meg. Det kan hverken jeg eller matematikken gjøre noe med.

Kilder:

Holden og Risebro: Front tracking for hyperbolic conservation laws, Springer, 2015.
Store norske leksikon: differensialligning